TEOREMA DE LIMITES

Karl Theodor Wilhelm Weierstraß

Nació el 31 de octubre de 1815 y murió el 19 de febrero de 1897 fue un matemático alemán conocido como “el padre del análisis moderno”. A pesar de haber dejado la universidad, estudió matemáticas y se entrenó como profesor, dando clases de matemáticas, física y botánica. Weierstrass formalizó la definición de la continuidad de una función, demostrando el teorema del valor medio y el teorema de Bolzano-Weierstrass usado después para estudiar las propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados.

Resolvió este conflicto prestando poca atención a sus estudios universitarios, y estudiando matemáticas en privado. Al final dejó la universidad sin terminar sus estudios. Después de que estudiase matemáticas en la Academia Münster y que su padre le consiguiese un puesto como profesor en una escuela en Münster fue certificado como profesor en esa ciudad. Durante su periodo de estudio, Weierstrass asistió a las conferencias de Christoph Gudermann y se interesó por las funciones elípticas.
Además de sus prolíficas investigaciones cabe señalar que fue profesor de cátedra en la Universidad de Berlín en la cual tuvo entre sus discípulos a Georg Cantor, Ferdinand Georg Frobenius, Wilhelm Killing, Leo Königsberger, Carl Runge, Sofia Kovalévskaya y Edmund Husserl.

Weierstraß dio las definiciones de continuidad, límite y derivada de una función, que se siguen usando hoy en día. Esto le permitió demostrar un conjunto de teoremas que estaban entonces sin demostrar como el teorema del valor medio, el teorema de Bolzano-Weierstrass y el teorema de Heine-Borel.También realizó aportes en convergencia de series, en teoría de funciones periódicas, funciones elípticas, convergencia de productos infinitos, cálculo de variaciones, análisis complejo, etc.

Los Límites 

Las dos grandes áreas del cálculo, denominadas cálculo diferencial y cálculo integral, se basan en el concepto fundamental de límite. En esta sección, el enfoque que haremos a este importante concepto será intuitivo, centrado en la comprensión de qué es un límite mediante el uso de ejemplos numéricos y gráficos. En la siguiente sección nuestro enfoque será analítico; es decir, usaremos métodos algebraicos para calcular el valor del límite de una función.

El límite de una función es el concepto principal que distingue al cálculo del álgebra y de la geometría analítica. La noción de un límite es fundamental para el estudio del cálculo. De esta manera, es importante adquirir un buen concepto de límite antes de incursionar en otros tópicos de cálculo.

Suponga que L denota un número finito. El concepto de f(x) que tiende a L a medida que x tiende a un número a puede definirse informalmente de la siguiente manera.

Si f(x) puede hacerse arbitrariamente próximo al número L al tomar x suficientemente cerca de, pero diferente de un número a, por la izquierda y por la derecha de a, entonces el límite de f(x) cuando x tiende a a es L.

veamos a continuación una serie de teoremas que nos permitirán el desarrollo de estos limites: